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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
15. Encuentre todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\frac{e^{4 x}}{x^{2}}=k$ tiene tres soluciones.
Respuesta
Para responder esta pregunta, vamos a definir la función $f(x) = \frac{e^{4 x}}{x^{2}}$ y hacer un estudio de función completo
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{0\}$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales:

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\(\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{4x}}{x^{2}} = +\infty\)
\(\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{4x}}{x^{2}} = +\infty\)
Por lo tanto, $x=0$ es asíntota vertical de $f$
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{4x}}{x^{2}} \)
Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", por L'Hopital es muy fácil justificar que da...
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{4x}}{x^{2}} = +\infty \)
Tomamos ahora límite en $-\infty$, acá no hay ninguna indeterminación y sale enseguida:
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{4x}}{x^{2}} = 0\)
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:
\(f'(x) = \frac{4e^{4x} \cdot x^{2} - e^{4x} \cdot 2x}{x^{4}}\)
Si querés podemos reacomodar un poco:
\(f'(x) = \frac{(4x^{2} - 2x)e^{4x}}{x^{4}}\)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ \frac{(4x^{2} - 2x)e^{4x}}{x^{4}} = 0$
Como la exponencial nunca es cero, los puntos críticos salen de plantear
$4x^{2} - 2x = 0$
Esto ocurre únicamente si \(x = \frac{1}{2}\) (acordate que $x=0$ no está en el dominio de $f$)
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \((-\infty, 0)\)
b) \((0, \frac{1}{2})\)
c) \((\frac{1}{2}, +\infty)\)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para \((-\infty, 0)\)
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para \((0, \frac{1}{2})\) $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. c) Para \((\frac{1}{2}, +\infty)\) $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico aproximado (probá de graficarla en GeoGebra y vas a ver que por las escalas se me complicaba sacarle captura de pantalla jaja por eso te dejo el que hice en la tablet, que debería ser parecido al que vos obtuviste en tu hoja... no te olvides de hacer $f(1/2)$ para ver aprox. cuánto vale para hacer el gráfico!)
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para \((0, \frac{1}{2})\) $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. c) Para \((\frac{1}{2}, +\infty)\) $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico aproximado (probá de graficarla en GeoGebra y vas a ver que por las escalas se me complicaba sacarle captura de pantalla jaja por eso te dejo el que hice en la tablet, que debería ser parecido al que vos obtuviste en tu hoja... no te olvides de hacer $f(1/2)$ para ver aprox. cuánto vale para hacer el gráfico!)

Listo, ahora miremos bien el gráfico y respondamos la pregunta. Queremos encontrar para qué valores en $y$ tenemos tres soluciones. Y eso ocurre para cualquier valor en $y$ en el intervalo $(f(1/2), +\infty)$.
Por lo tanto, si $k \in (f(1/2), +\infty)$ la ecuación tiene tres soluciones.
Pregunta: ¿Por qué puse paréntesis en $f(1/2)$? ¿cuántas soluciones tengo si $k = f(1/2)$?
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