Por lo tanto, $x=0$ es asíntota vertical de $f$ - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

 $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{4x}}{x^{2}}$

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", por L'Hopital es muy fácil justificar que da...

 $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{4x}}{x^{2}} = +\infty$ 

Tomamos ahora límite en $-\infty$, acá no hay ninguna indeterminación y sale enseguida:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{4x}}{x^{2}} = 0$ 

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$

3) Calculamos $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{4e^{4x} \cdot x^{2} - e^{4x} \cdot 2x}{x^{4}}$ 

Si querés podemos reacomodar un poco:

$f'(x) = \frac{(4x^{2} - 2x)e^{4x}}{x^{4}}$  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

Como la exponencial nunca es cero, los puntos críticos salen de plantear  

Esto ocurre únicamente si $x = \frac{1}{2}$ (acordate que $x=0$ no está en el dominio de $f$)

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $(-\infty, 0)$

b) $(0, \frac{1}{2})$ 

c) $(\frac{1}{2}, +\infty)$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $(-\infty, 0)$
 $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para  $(0, \frac{1}{2})$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. c) Para  $(\frac{1}{2}, +\infty)$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico aproximado (probá de graficarla en GeoGebra y vas a ver que por las escalas se me complicaba sacarle captura de pantalla jaja por eso te dejo el que hice en la tablet, que debería ser parecido al que vos obtuviste en tu hoja... no te olvides de hacer $f(1/2)$ para ver aprox. cuánto vale para hacer el gráfico!)